数学，常常在局部与整体之间搭建奇妙的桥梁。微分几何研究的是空间局部弯曲的性质（比如曲率），而拓扑学则关心空间整体的、不随连续变形改变的性质（比如“有多少个洞”）。将这两者联系起来的伟大定理，其中最著名的一个无疑是高斯-博内定理。而将这个定理从二维推广到任意偶数维度，并在此过程中催生出影响深远的数学概念——陈类和陈数，正是我们敬爱的数学大师陈省身先生。
二维的优雅：经典高斯-博内定理
想象一下你在一个曲面上行走，比如一个球面上。无论走到哪里，这个曲面总是弯曲的，而且是“正向”弯曲的。数学上，我们用“高斯曲率”来衡量这种局部的弯曲程度。将球面上所有点的高斯曲率积分起来，你会得到一个固定的值，这个值只取决于球面的“形状”——无论球是大是小，是光滑还是有点凹凸，只要它还是个球（在拓扑上等价于一个球面），这个积分值永远是4π。
再想象一个甜甜圈表面（一个环面）。这个表面有些地方是正曲率，有些地方是负曲率，有些地方是零曲率。如果你把环面上所有点的高斯曲率积分起来，你会发现结果总是 0。
这个积分结果，4π 或 0，似乎与曲面的局部弯曲方式无关，而只与曲面的整体形态有关。没错，这就是二维的高斯-博内定理所揭示的：对于一个闭合的曲面，其高斯曲率在整个曲面上的积分等于 2π 乘以一个称为“欧拉示性数”的拓扑不变量。欧拉示性数是曲面拓扑结构的固有属性，比如球面的欧拉示性数是 2，环面是 0。定理用一个局部的几何量（曲率积分）给出了一个整体的拓扑量（欧拉示性数）。
用数学公式来说，对于一个闭合的二维黎曼流形 M，有： ∫KdA=2πχ(M) 其中 K 是高斯曲率，dA 是面积元，χ(M) 是流形 M 的欧拉示性数。
高维的挑战与内蕴的追求
经典的高斯-博内定理是如此简洁而深刻，数学家们自然希望能将其推广到更高维度的空间，也就是高维流形上。这个方向的研究在陈省身之前已经有一些进展，比如Allendoerfer和Weil的工作。但他们的证明通常是“外蕴”的，也就是说，证明过程依赖于将高维流形看作是嵌入在更高维欧几里得空间中的一个“子集”，利用外部空间的性质来分析流形。
陈省身先生认识到，一个更深刻、更本质的证明应该只依赖于流形本身的内在几何结构，即其黎曼度量所赋予的性质。这就是所谓的“内蕴证明”。他认为，如果一个定理是关于流形本身的性质，它的证明就不应该依赖于流形是如何被“摆放”在外部空间中的。
陈省身的突破：内蕴证明与新概念的诞生
上世纪40年代初，陈省身在美国普林斯顿高等研究院工作期间，接受了著名数学家Weyl的建议，开始寻找高维高斯-博内公式的内蕴证明。他在1944年发表的论文《闭黎曼流形高斯-博内公式的一个简单的内蕴证明》中， 出色地解决了这个问题。
陈省身的证明不仅是一个技术上的杰作，更重要的是，它在证明过程中引入了全新的数学工具和思想。他巧妙地运用了纤维丛（特别是标架丛）和嘉当的外微分形式方法，将高斯-博内定理推广到了任意偶数维的闭黎曼流形上。这个推广后的定理通常被称为陈-高斯-博内定理。
更具里程碑意义的是，在探索这一高维推广及其内蕴证明的过程中，陈省身发现需要更精细的工具来描述高维流形上某种“扭曲”或“弯曲”的整体性质，特别是对于带有复结构的流形或其上的复向量丛。这些工具不再仅仅是一个欧拉示性数所能概括的了。
这便引出了陈类（Chern classes）这一系列全新的拓扑不变量。陈类是一组与复向量丛相关的示性类，它们用外微分形式表示时，可以由向量丛上的曲率形式构造出来。陈类提供了比欧拉示性数更丰富的拓扑信息，能够区分那些具有相同欧拉示性数但拓扑结构不同的复流形或复向量丛。
进一步地，通过在闭流形上积分这些陈类的特定组合，陈省身定义了陈数（Chern numbers）。陈数是一组数值不变量，它们是流形的拓扑不变量，独立于流形上的具体黎曼度量或复结构的选择（在允许的范围内）。
意义与影响
陈省身对高斯-博内定理的内蕴推广以及陈类和陈数的引入，是20世纪微分几何和拓扑学的重大突破。
- 连接几何与拓扑：他的工作以前所未有的深度揭示了几何（曲率）与拓扑（示性类）之间的内在联系，为整体微分几何奠定了基石。
- 开创全新领域：陈类成为研究复流形、复向量丛及其相关结构的强大工具，深刻影响了代数几何、复几何等领域。
- 深刻影响物理学： 陈类和相关的示性类在理论物理中，特别是规范场论、弦理论等领域扮演着核心角色，它们与物理中的反常（anomaly）等概念紧密相关。陈-西蒙斯理论（Chern-Simons theory）便是直接基于陈类构造的。
陈省身先生的这项工作，不仅仅是解决了一个数学难题，更是开辟了一个全新的数学疆域。陈类和陈数作为他留给数学世界的宝贵遗产，至今仍在源源不断地产生新的研究和应用，继续连接着曲率的奥秘与宇宙的形状。
